On Using Mathcad Software for Modelling, Visualization and Simulation in Mechanics

Abstract

Learning and research are becoming increasingly more computerbased, which is supported by both the development of computing technology and better results in studying, teaching and research into engineering problems. According to Chonacky, 2006, computer modelling and simulation are some of the best methodologies that have been applied in science and engineering. This doctoral thesis develops computer-based learning and research methods in engineering mechanics, analytical mechanics and machinery mechanics. The results can be used in both teaching and practical engineering. In the current doctoral thesis, the objects that are automatically generated on the computer screen using a mathematical model are called virtual models for short. The process of creating images that correspond to calculation results (graphs, virtual models, simulations, etc.) is called visualization. The simulation of the movement of virtual models gives an idea of the movement of the object of study and the veracity of the solution calculated on the basis of the mathematical model. The use of computer-based visualization in teaching is very important. The analysis Höffler & Leutner, 2007 showed that the learning outcome improved by 37% on average when a simulation (animation) was used instead of a static picture. The simulations in the current thesis correspond to Recchi, et al., 2006 definition: an effective computer simulation is built on a mathematical model, which describes the process that is being studied. Visualization is interdisciplinary by nature, drawing on simulations, the psychology of perception, graphic art, computer graphics, picture editing, data management, etc. (Haber, 1990). The mechanical problems explored in the current thesis have been solved with a computer on a PTC Mathcad worksheet. Unlike other mathematics programs, in which the formulas have to be programmed as well, the engineering calculations software Mathcad allows writing formulas the way we are used to seeing them in books and writing them ourselves. The formulas and variables on a Mathcad worksheet can be changed on the computer screen and the changes in results can be directly observed in drawings, virtual models and motion simulations for the virtual models.

Antud doktoritöös esitletakse 11 publikatsiooni ja ühte patenti, millede abil näidatakse, kuidas on võimalik virtuaalmudeleid ja nende liikumise simulatsioone luua inseneri- ja masinamehaanika ning analüütilise mehaanika valdkondadest, mida saab kasutada õpetamisel ja probleemide uurimisel. Luues uuritavast objektist matemaatilise mudeli abil virtuaalmudeli ja simuleerides selle liikumist on võimalik antud probleemist paremini aru saada. Eriti puudutab see inimesi, kes on kunstnikutüüpi kõrgema närvitegevusega ja vajavad arusaamiseks mitmesuguste objektide visualiseerivaid kujutisi (Leppik, 2001; Leppik, 2008). Antud töös leitud probleemide lahendid on visualiseeritud virtuaalmudelitena kui ka uuritud objektide liikumise simuleerimisega. Õppemeetodite arendamise valdkonnast käsitleti järgnevaid teemasid: 1. Mehaanika loov õpetamine Selle teema kohta on doktoritöös esitletud kahte artiklit. Artiklis III selgitatakse, kuidas võiks loovalt õpetada inseneri- ja masinamehaanikat. Selles artiklis on toodud näiteid mehaanika probleemide lahenditest, mis on leitud Mathcadi töölehel ja milledele on koostatud objektide liikumist simuleerivad videoklipid. Artiklis II on näidatud, kuidas kasutada interaktiivseid näiteid õppeainele „Analüütiline mehaanika“ interaktiivse loengukonspekti koostamisel. Antud meetodit saaks ka kasutada insenerimehaanika ja masinamehaanika interaktiivse konspekti koostamiseks. Analüütilise mehaanika interaktiivse konspekti täpsema näitena uuriti töös I kaksikpendli suuri võnkumisi Mathcadi töölehel. Hamiltoni diferentsiaalvõrrandite süsteemi lahendamisel Runge- Kutta IV järku meetodiga leiti kaksikpendlite asendeid määravate nurkade väärtuste sõltuvused ajast. Koostati kaksikpendli virtuaalmudeli liikumise simulatsiooni videoklipp, mis näitab ilmekalt selle pendli kaootilist liikumist. 2. V-kujuline mootori ja nukkmehhanismi arvutipõhine uurimine Artiklis IV näidati, kuidas arvutipõhiselt teha V-kujulise mootori kinemaatika ja dünaamika arvutusi, koos virtuaalmudeli koostamise ja selle liikumise simuleerimisega. Käsitleti mudeli kinemaatikat ja dünaamikat, kusjuures kolbidele mõjuva jõu määramisel lähtuti neljataktilise mootori indikaatordiagrammist. Koostati videoklipp simulatsiooniga mootori virtuaalmudeli liikumisest. Töös IX näidati arvutipõhiselt optimaalse radiaalse nuki sünteesi tegemist. Selleks koostati Mathcadi töölehel programm, mis seob omavahel tõukuri eemaldumise ja naasmise võrrandid. Koostati siirde, kiiruse, kiirenduse ja survenurga sõltuvust nuki pöördenurgast näitavad joonised. Nuki optimaalse profiili saamiseks leiti optimaalsed väärtused algringjoone raadiusele ja tõukuri ekstsentrilisusele. Väljastati optimaalse profiiliga nuki koordinaadid, mida saab kasutada nuki väljalõikamisel. Nuki pöörlemist ja tõukuri virtuaalmudeli liikumist simuleeriti vastavas videoklipis 3. Punktmassi liikumisega seotud ülesanded Seda teemat käsitlevad doktoritöös kolm artiklit. Artiklis VI käsitleti punktmassi liikumist kõveral trajektooril. Videoklipis simuleeriti punktmassi liikumine mõnedel kõveratel trajektooridel, millel punktmassi normaalkiirendust, tangentsiaalkiirendust, täiskiirendust ja kiirust kujutati geomeetriliste vektoritega. Videoklipis on näha punktmassile etteantud trajektoor, punktmassi asukohast kõverustsentrisse suunatud vektor, punktmassi asukohale vastava trajektoori punkti kõverusringjoon ja evoluut, mida kujundab kõverusringjoone keskpunkt 4. Sümpaatiliste pendlite uurimine sümbolarvutuse ja Laplace teisendusega. Töös VII näidati kuidas tuletada diferentsiaalvõrrandeid sümpaatilistele pendlitele väikeste võnkumiste korral ja lahendada need nii programmi Mathcad sümbolarvutuse kui Laplace teisenduse abil. Koostati videoklipp sümpaatiliste pendlite virtuaalse mudeli liikumise simulatsiooniga. 72 Uurimismeetodite arendamise valdkonnast käsitleti järgnevaid teemasid: 1. Mõnede varbmehhanismide virtuaalmudelite uurimine ja visualiseerimine. Artiklis V võrreldi sisepõlemismootorites levinud ühe kepsuga väntmehhanismi ja kahe kepsuga väntmehhanismi, mis pole laialdast kasutust leidnud. Leiti kolvi siirded, kiirused ja kiirendused mõlemas mehhanismis. Leitud väärtusi võrreldi samadel joonistel. Eraldi võrreldi liugurite survenurka ja reaktsioonjõude, mida avaldaks kolb silindri pinnale. Koostati kaks võrdlevat mehhanismide liikumise simulatsiooni. Esimeses simulatsioonis võrreldi liugurite siirdeid ja teises simulatsioonis - kiirusi, kiirendusi ja survenurki. Leiti, et kahe kepsuga väntmehhanismi korral on nii survenurga kui ka reaktsioonjõu väärtus keskmiselt väiksem kui ühe kepsuga varbmehhanismis. Artiklis X käsitletakse 12 lülilist koostatud mehhanismi, mille liikumine on jala kõndimise liigutuse sarnane. Eeldatakse, et vaadeldava mehhanismi liikumine toimub liikumist takistavas keskkonnas. Muutuvad takistusjõud ja inertsijõud põhjustavad sisendlüli kiiruse kõikumist. Et vähendada selle kiiruse kõikumist näidatakse, kuidas leida sellisele mehhanismile hoorattast. Koostati simulatsioon mehhanismi liikumisest. 2. Punktmassi liikumisega seotud probleemide uurimine ja liikumiste simuleerimine. Artiklis VIII modelleeriti väetiseosakest punktmassina. Uuriti väetisosakese trajektoore jaotuskettal, sellel viibimise aega ja laoturilt lahkumise kiirust erinevate väetiselaoturi laba nurkade, hõõrdekoefitsiendi ja väetisosakese algpositsiooni korral. Koostati videoklipid simulatsioonidega väetiseosakese liikumisest. Töös XI uuriti punktmassina modelleeritud astelpaju marja liikumist, marjade okstest eraldamise konveieri lindil ja pärast sellelt lahkumist. Koostati matemaatiline mudel, mis kirjeldab marja liikumist konveierilindil ja õhus pärast selle eemaldumist lindilt. Leiti marja siire, kiirus, ja kogu liikumise aeg sõltuvalt konveierilindi liikumise kiirusest, kaldenurgast ja hõõrdetegurist marja ning lindi vahel. Koostati konveieri lindi virtuaalne mudel, millel on kujutatud mari. Koostati videoklipp, mis illustreerib marja liikumist konveieril erinevate kaldenurkade korral ja pärast konveierilt lahkumist. Meetodid ja tulemused, mida antud töös näidati saab kasutada mehaanika ainete õpetamisel visualiseerimaks õpitava mehaanika ülesande objekti virtuaalse mudeli ja simuleerides tema liikumist arvuti ekraanil. Arvuti programmi Mathcad saab kasutada hea abivahendina, et luua interaktiivseid õppematerjale, mis annavad võimaluse eksperimenteerida õppematerjalidega. Simulatsioonide loomise võimalus teeb õpilaste jaoks õppimise huvitavamaks. Arvuti programmi Mathcad saab kasutada hea töövahendina, et teha inseneriarvutisi ja simulatsiooni. Simulatsioonid visualiseerivad saadud tulemusi aidates kontrollida lahenduse õigsust.